Graph-Zeta

Graphen-Zeta-Methoden zur effizienten Simulation von Quantensystemen mit langreichweitigen Wechselwirkungen

28.12.2026 bis 27.12.2029

Langreichweitige Wechselwirkungen sind in den Naturwissenschaften allgegenwärtig. Bei der Simulation makroskopischer Teilchensysteme führen sie jedoch zu großskaligen Summen, die präzise Berechnungen erschweren. Standardnäherungen wie Kontinuumsmodelle erleichtern zwar die Berechnung, führen aber zu unkontrollierten Fehlern, die qualitativ falsche Ergebnisse zur Folge haben können. Quantensysteme mit langreichweitigen Wechselwirkungen bilden ein schnell wachsendes Forschungsfeld, da experimentelle Plattformen wie dipolare Gase und Rydberg-Arrays inzwischen verfügbar sind und vielversprechende Perspektiven für technologische Anwendungen in Sensorik und Metrologie bieten. Führende Methoden wie pCUT (perturbative continuous unitary transformation) überführen die Behandlung der mit der Teilchenzahl exponentiell anwachsenden Hilbertraumdimension in eine perturbative Entwicklung, deren Koeffizienten sich aus langsam konvergierenden Gittersummen über Graphen zusammensetzen, wobei die Summationsdimension mit der Ordnung linear wächst.

In vorhergehenden Arbeiten habe ich gezeigt, dass eine breite Klasse von langreichweitigen Gittersummen effizient mittels verallgemeinerter Zetafunktionen berechnet werden kann. Die resultierende Methode verallgemeinert die 300 Jahre alte Euler–Maclaurin-Summationsformel auf physikalisch relevante langreichweitige Wechselwirkungen auf höherdimensionalen Gittern. Die zentrale Idee besteht hierbei darin, die ursprüngliche Gittersumme als ein Integral plus Korrekturterm darzustellen, wobei letzterer Ableitungen des Summanden sowie Koeffizienten enthält, die durch Epsteinsche Zetafunktionen gegeben sind, welche nun mithilfe meiner Hochleistungsbibliothek EpsteinLib effizient berechnet werden können.

Hierauf aufbauend ist das Ziel dieses Projekts die Entwicklung eines effizienten, präzisen und allgemein anwendbaren numerischen Frameworks auf Basis verallgemeinerter Zetafunktionen zur Simulation klassischer und quantenmechanischer Systeme mit langreichweitigen Wechselwirkungen in bisher unzugänglichen Regimen. Für Quantenspinsysteme werde ich Methoden zur Berechnung graphenbasierter Zetafunktionen mit linearer statt exponentieller Skalierung in der Ordnung entwickeln, um Entwicklungen hoher Ordnung von langreichweitigen Systemen, einschließlich Flat-Band- und frustrierter Modelle, zu ermöglichen. Darüber hinaus wird das Framework zur Untersuchung der Stabilität und Eigenschaften von Materialien mit realistischen Vielteilchenwechselwirkungen in der theoretischen Chemie angewendet werden. In der Molekulardynamik und Mikromagnetik wird es die genaue zeitliche Entwicklung periodischer Systeme mit großen Einheitszellen erlauben. Weitere Erweiterungen zielen auf exotische Systeme wie Quasikristalle und stochastische Zetafunktionen im Kontext variationaler Quantenalgorithmen ab. Durch Anwendung dieser Methoden auf bislang unerforschte Systeme sollen neuartige physikalische Phänomene mit technologischem Potenzial entdeckt werden.